第十二卷, 第四期
浅谈等角线与符号图

李佳傲

数学文化, 12 (2021), pp. 67-73.

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  • 摘要

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小时候,我们大概都会喜欢在纸上乱涂乱画。也许你想过这样一个问题 :在纸上画一些直线,希望任意两条直线形成的夹角都相同,那么我们最多能画多少条这样的直线呢?对于纸面这样的二维平面,不难得到最多的数目是3条,等边三角形的3条边所构成的直线就是满足条件的构造。我们称这样的两两夹角相同的直线为等角线。那如果我们在三维欧式空间中寻找两两夹角相同的直线,最多能够有多少条呢?一个比较直观的想法是,三维坐标中3个坐标轴构成的直线两两垂直,这给出了3条等角线,但这不是最多的构造。在三维空间中,考虑一个正二十面体,它由20个面和12个顶点构成。通过连接相对顶点可以形成6条相交的对角线(如图1所示),可以看出其中任何一对直线都会形成一个固定的角。事实上,可以证明这个构造是最优的,即三维空间的等角线数目最多为6条,详见下文。